Задача 57958

Тема:    [ Композиции поворотов ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами P, Q и R. На сторонах треугольника PQR внутренним образом построены квадраты. Докажите, что их центры являются серединами сторон треугольника ABC.

Решение

Пусть P, Q и R — центры квадратов, построенных внешним образом на сторонах AB, BC и CA. Рассмотрим поворот на 90^o с центром R, переводящий C в A. При повороте на 90^o в том же направлении с центром P точка A переходит в B. Композиция этих двух поворотов является поворотом на 180^o, поэтому центр этого поворота — середина отрезка BC. С другой стороны, центр этого поворота является вершиной равнобедренного прямоугольного треугольника с основанием PR, т. е. является центром квадрата, построенного на PR. Этот квадрат построен на стороне треугольника PQR именно внутренним образом.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	4
Название	Композиции поворотов
Тема	Композиции поворотов
задача
Номер	18.036