Задача 57981

Тема:    [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.

Решение

Пусть продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке K, а диагонали трапеции пересекаются в точке L. Согласно предыдущей задаче прямая KL проходит через середину отрезка AD, а по условию задачи эта же прямая делит пополам угол AKD. Поэтому треугольник AKD равнобедренный (см. задачу 16.1), а значит, трапеция ABCD тоже равнобедренная.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	1
Название	Гомотетичные многоугольники
Тема	Гомотетичные многоугольники
задача
Номер	19.003