Задача 57838

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Удвоение медианы ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.

Решение

Пусть в треугольнике ABC медиана BD является биссектрисой. Рассмотрим точку B₁, симметричную B относительно точки D. Так как D – середина отрезка AC, то четырёхугольник ABCB₁ – параллелограмм. А так как  ∠ABB₁ = ∠B₁BC = ∠AB₁B,  то треугольник B₁AB равнобедренный и  AB = AB₁ = BC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	16
Название	Центральная симметрия
Тема	Центральная симметрия
параграф
Номер	1
Название	Симметрия помогает решить задачу
Тема	Центральная симметрия помогает решить задачу
задача
Номер	16.001
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4345