Задача 57995

Темы:    [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Гомотетичные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Впишите в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.

Решение

Ясно, что обе окружности касаются одной из сторон треугольника. Покажем, как построить окружности, касающиеся стороны AB. Возьмем прямую c' параллельную прямой AB. Построим окружности S₁' и S₂' одного радиуса, касающиеся друг друга и прямой c'. Построим касательные a' и b' к этим окружностям, параллельные прямым BC и AC соответственно. Треугольник A'B'C', образованный прямыми a', b' и c', имеет стороны, параллельные сторонам треугольника ABC. Поэтому существует гомотетия, переводящая треугольник A'B'C' в треугольник ABC. Искомые окружности являются образами окружностей S₁' и S₂' при этой гомотетии.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	3
Название	Построения и геометрические места точек
Тема	Гомотетия: построения и геометрические места точек
задача
Номер	19.016