ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58001
Тема:    [ Композиции гомотетий ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Преобразование f обладает следующим свойством: если A' и B' — образы точек A и B, то $ \overrightarrow{A'B'}$ = k$ \overrightarrow{AB}$, где k — постоянное число. Докажите, что:
а) если k = 1, то преобразование f является параллельным переносом;
б) если k$ \ne$1, то преобразование f является гомотетией.

Решение

Из условия задачи следует, что отображение f взаимно однозначно.
а) Пусть точка A переходит при отображении f в точку A', а B — в точку B'. Тогда $ \overrightarrow{BB'}$ = $ \overrightarrow{BA}$ + $ \overrightarrow{AA'}$ + $ \overrightarrow{A'B'}$ = - $ \overrightarrow{AB}$ + $ \overrightarrow{AA'}$ + $ \overrightarrow{AB}$ = $ \overrightarrow{AA'}$, т. е. преобразование f является параллельным переносом.
б) Рассмотрим три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Пусть A', B' и C' — их образы при отображении f. Прямые AB, BC и CA не могут совпасть с прямыми A'B', B'C' и C'A' соответственно, так как в этом случае A = A', B = B' и C = C'. Пусть AB$ \ne$A'B'. Прямые AA' и BB' не параллельны, поскольку иначе четырехугольник ABB'A' был бы параллелограммом и  $ \overrightarrow{AB}$ = $ \overrightarrow{A'B'}$. Пусть O — точка пересечения прямых AA' и BB'. Треугольники AOB и A'OB' подобны с коэффициентом подобия k, поэтому $ \overrightarrow{OA'}$ = k$ \overrightarrow{OA}$, т. е. O — неподвижная точка преобразования f. Следовательно, $ \overrightarrow{Of(X)}$ = $ \overrightarrow{f(O)
f(X)}$ = k$ \overrightarrow{OX}$ для любой точки X, а это означает, что преобразование f является гомотетией с коэффициентом k и центром O.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 19
Название Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер 4
Название Композиции гомотетий
Тема Композиции гомотетий
задача
Номер 19.022

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .