ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58002
Тема:    [ Композиции гомотетий ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что композиция двух гомотетий с коэффициентами k1 и k2, где k1k2$ \ne$1, является гомотетией с коэффициентом k1k2, причем ее центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий. Исследуйте случай k1k2 = 1.

Решение

Пусть H = H2oH1, где H1 и H2 — гомотетии с центрами O1 и O2 и коэффициентами k1 и k2. Введем обозначения A' = H1(A), B' = H1(B), A'' = H2(A'), B'' = H2(B'). Тогда $ \overrightarrow{A'B'}$ = k1$ \overrightarrow{AB}$ и  $ \overrightarrow{A''B''}$ = k2$ \overrightarrow{A'B'}$, т. е. $ \overrightarrow{A''B''}$ = k1k2$ \overrightarrow{AB}$. Из этого с помощью предыдущей задачи получаем, что преобразование H при k1k2$ \ne$1 является гомотетией с коэффициентом k1k2, а при k1k2 = 1 — параллельным переносом.
Остается проверить, что неподвижная точка преобразования H лежит на прямой, соединяющей центры гомотетий H1 и H2. Так как $ \overrightarrow{O_1A'}$ = k1$ \overrightarrow{O_1A}$ и  $ \overrightarrow{O_2A''}$ = k2$ \overrightarrow{O_2A'}$, то $ \overrightarrow{O_2A''}$ = k2($ \overrightarrow{O_2O_1}$ + $ \overrightarrow{O_1A'}$) = k2($ \overrightarrow{O_2O_1}$ + k1$ \overrightarrow{O_1A}$) = k2$ \overrightarrow{O_2O_1}$ + k1k2$ \overrightarrow{O_1O_2}$ + k1k2$ \overrightarrow{O_2A}$. Для неподвижной точки X получаем уравнение $ \overrightarrow{O_2X}$ = (k1k2 - k2)$ \overrightarrow{O_1O_2}$ + k1k2$ \overrightarrow{O_2X}$, поэтому $ \overrightarrow{O_2X}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{O_1O_2}$, где $ \lambda$ = (k1k2 - k2)/(1 - k1k2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 19
Название Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер 4
Название Композиции гомотетий
Тема Композиции гомотетий
задача
Номер 19.023

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .