Информация о задаче

Задача 58002

Тема:

[

Композиции гомотетий

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что композиция двух гомотетий с коэффициентами k₁ и k₂, где k₁k₂ $\ne$ 1, является гомотетией с коэффициентом k₁k₂, причем ее центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий. Исследуйте случай k₁k₂ = 1.

Решение

Пусть H = H₂oH₁, где H₁ и H₂ — гомотетии с центрами O₁ и O₂ и коэффициентами k₁ и k₂. Введем обозначения A' = H₁(A), B' = H₁(B), A'' = H₂(A'), B'' = H₂(B'). Тогда $\overrightarrow{A'B'}$ = k₁ $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{A''B''}$ = k₂ $\overrightarrow{A'B'}$ , т. е. $\overrightarrow{A''B''}$ = k₁k₂ $\overrightarrow{AB}$ . Из этого с помощью предыдущей задачи получаем, что преобразование H при k₁k₂ $\ne$ 1 является гомотетией с коэффициентом k₁k₂, а при k₁k₂ = 1 — параллельным переносом.
Остается проверить, что неподвижная точка преобразования H лежит на прямой, соединяющей центры гомотетий H₁ и H₂. Так как $\overrightarrow{O_1A'}$ = k₁ $\overrightarrow{O_1A}$ и $\overrightarrow{O_2A''}$ = k₂ $\overrightarrow{O_2A'}$ , то $\overrightarrow{O_2A''}$ = k₂( $\overrightarrow{O_2O_1}$ + $\overrightarrow{O_1A'}$ ) = k₂( $\overrightarrow{O_2O_1}$ + k₁ $\overrightarrow{O_1A}$ ) = k₂ $\overrightarrow{O_2O_1}$ + k₁k₂ $\overrightarrow{O_1O_2}$ + k₁k₂ $\overrightarrow{O_2A}$ . Для неподвижной точки X получаем уравнение $\overrightarrow{O_2X}$ = (k₁k₂ - k₂) $\overrightarrow{O_1O_2}$ + k₁k₂ $\overrightarrow{O_2X}$ , поэтому $\overrightarrow{O_2X}$ = $\lambda$ $\overrightarrow{O_1O_2}$ , где $\lambda$ = (k₁k₂ - k₂)/(1 - k₁k₂).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	4
Название	Композиции гомотетий
Тема	Композиции гомотетий
задача
Номер	19.023