Задача 58003

Темы:    [ Композиции гомотетий ] [ Гомотетичные окружности ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

Общие внешние касательные к парам окружностей S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₁ пересекаются в точках A, B и C соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Решение

Точка A является центром гомотетии, переводящей S₁ в S₂, точка B — центром гомотетии, переводящей S₂ в S₃. Композиция этих гомотетий переводит S₁ в S₃, причем ее центр лежит на прямой AB. С другой стороны, центром гомотетии, переводящей S₁ в S₃, является точка C. В самом деле, точке пересечения внешних касательных соответствует гомотетия с положительным коэффициентом, а композиция гомотетий с положительными коэффициентами является гомотетией с положительным коэффициентом.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	4
Название	Композиции гомотетий
Тема	Композиции гомотетий
задача
Номер	19.024