Условие
Общие внешние касательные к парам окружностей
S1
и
S2,
S2 и
S3,
S3 и
S1 пересекаются в точках
A,
B и
C соответственно. Докажите, что точки
A,
B и
C лежат
на одной прямой.
Решение
Точка
A является центром гомотетии, переводящей
S1
в
S2, точка
B — центром гомотетии, переводящей
S2 в
S3.
Композиция этих гомотетий переводит
S1 в
S3, причем ее центр
лежит на прямой
AB. С другой стороны, центром гомотетии,
переводящей
S1 в
S3, является точка
C. В самом деле, точке
пересечения внешних касательных соответствует гомотетия с положительным
коэффициентом, а композиция гомотетий с положительными коэффициентами
является гомотетией с положительным коэффициентом.
Источники и прецеденты использования
