Условие
Трапеции ABCD и APQD имеют общее основание
AD, причем длины всех их оснований попарно различны.
Докажите, что на одной прямой лежат точки пересечения
следующих пар прямых:
а) AB и CD, AP и DQ, BP и CQ;
б) AB и CD, AQ и DP, BQ и CP.
Решение
а) Пусть K, L, M — точки пересечения прямых AB и CD,
AP и DQ, BP и CQ. Эти точки являются центрами гомотетий HK,
HL и HM с положительными коэффициентами, переводящих
соответственно отрезок BC в AD, AD в PQ и BC в PQ. Ясно,
что
HLoHK = HM. Поэтому точки K, L и M лежат на одной
прямой.
б) Пусть K, L, M — точки пересечения прямых AB и CD, AQ
и DP, BQ и CP. Эти точки являются центрами гомотетий HK,
HL и HM, переводящих соответственно отрезок BC в AD, AD в QP,
BC в QP, коэффициент первой гомотетии положительный, а двух
последних — отрицательный. Ясно, что
HLoHK = HM. Поэтому
точки K, L и M лежат на одной прямой.
Источники и прецеденты использования
