Информация о задаче

Задача 58008

Тема:

[

Поворотная гомотетия

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B, а хорды AM и AN касаются этих окружностей. Треугольник MAN достроен до параллелограмма MANC и отрезки BN и MC разделены точками P и Q в равных отношениях. Докажите, что $\angle$ APQ = $\angle$ ANC.

Решение

Так как $\angle$ AMB = $\angle$ NAB и $\angle$ BAM = $\angle$ BNA, то $\triangle$ AMB $\sim$ $\triangle$ NAB, а значит, AN : AB = MA : MB = CN : MB. Кроме того, $\angle$ ABM = 180^o - $\angle$ MAN = $\angle$ ANC. Следовательно, $\triangle$ AMB $\sim$ $\triangle$ ACN, т. е. поворотная гомотетия с центром A, переводящая M в B, переводит C в N, а значит, она переводит Q в P.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	5
Название	Поворотная гомотетия
Тема	Поворотная гомотетия
задача
Номер	19.029