Условие
Даны две неконцентрические окружности
S1 и
S2.
Докажите, что существуют ровно две поворотные гомотетии
с углом поворота
90
o, переводящие
S1 в
S2.
Решение
Пусть
O1 и
O2 — центры данных окружностей,
r1 и
r2 — их радиусы. Коэффициент
k поворотной гомотетии, переводящей
S1
в
S2, равен
r1/
r2, а ее центр
O лежит на окружности с диаметром
O1O2, и, кроме того,
OO1 :
OO2 =
k =
r1/
r2. Остается
проверить, что окружность с диаметром
O1O2 и ГМТ
O таких,
что
OO1 :
OO2 =
k, имеют ровно две общие точки. При
k = 1 это
очевидно, а при
k
1 последнее ГМТ описано в решении задачи
7.14:
оно является окружностью, причем одна из ее точек пересечения с прямой
O1O2 лежит внутри отрезка
O1O2, а другая — вне его.
Источники и прецеденты использования
