Задача 58009

Тема:    [ Поворотная гомотетия ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

Даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что существуют ровно две поворотные гомотетии с углом поворота 90^o, переводящие S₁ в S₂.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей, r₁ и r₂ — их радиусы. Коэффициент k поворотной гомотетии, переводящей S₁ в S₂, равен r₁/r₂, а ее центр O лежит на окружности с диаметром O₁O₂, и, кроме того, OO₁ : OO₂ = k = r₁/r₂. Остается проверить, что окружность с диаметром O₁O₂ и ГМТ O таких, что OO₁ : OO₂ = k, имеют ровно две общие точки. При k = 1 это очевидно, а при k1 последнее ГМТ описано в решении задачи 7.14: оно является окружностью, причем одна из ее точек пересечения с прямой O₁O₂ лежит внутри отрезка O₁O₂, а другая — вне его.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	5
Название	Поворотная гомотетия
Тема	Поворотная гомотетия
задача
Номер	19.030