Условие
На прямоугольную карту положили карту той же
местности, но меньшего масштаба. Докажите, что можно
проткнуть иголкой сразу обе карты так, чтобы точка прокола
изображала на обеих картах одну и ту же точку местности.
Решение
Исходная карта является прямоугольником
K0 на плоскости, меньшая
карта — прямоугольником
K1, содержащимся в
K0.
Рассмотрим поворотную гомотетию
f, отображающую прямоугольник
K0
на
K1. Пусть
Ki + 1 =
f (
Ki). Так как последовательность
Ki
является стягивающейся последовательностью вложенных многоугольников,
существует единственная точка
X, принадлежащая всем
прямоугольникам
Ki. Докажем, что
X — искомая точка, т. е.
f (
X) =
X. В самом деле, так как точка
X принадлежит
Ki, то точка
f (
X) принадлежит
Ki + 1, т. е. точка
f (
X) также принадлежит
всем прямоугольникам
Ki. Поскольку имеется только одна точка,
принадлежащая всем прямоугольникам, то
f (
X) =
X.
Источники и прецеденты использования
