Задача 58033

Тема:    [ Окружность подобия трех фигур ]

Сложность: 6 Классы: 9,10

Условие

Пусть l₁, l₂ и l₃ — соответственные прямые подобных фигур F₁, F₂ и F₃, пересекающиеся в точке W.
а) Докажите, что точка W лежит на окружности подобия фигур F₁, F₂ и F₃.
б) Пусть J₁, J₂ и J₃ — точки пересечения прямых l₁, l₂ и l₃ с окружностью подобия, отличные от точки W. Докажите, что эти точки зависят только от фигур F₁, F₂ и F₃ и не зависят от выбора прямых l₁, l₂ и l₃.

Решение

а) Пусть l₁', l₂' и l₃' — соответственные прямые фигур F₁, F₂ и F₃, причем  l_i'| l_i; эти прямые образуют треугольник P₁P₂P₃. При поворотной гомотетии с центром O₃, переводящей F₁ в F₂, прямые l₁ и l₁' переходят в l₂ и l₂', поэтому при гомотетии с центром O₃, переводящей прямую l₁ в l₁', прямая l₂ переходит в l₂'. Следовательно, прямая P₃O₃ проходит через точку W. Аналогично прямые P₁O₁ и P₂O₂ проходят через точку W, а значит, точка W лежит на окружности подобия фигур F₁, F₂ и F₃ (см. задачу 19.49, б)).
б) Отношение расстояний от точки O₁ до прямых l₂' и l₃' равно коэффициенту поворотной гомотетии, переводящей F₂ в F₃, а угол P₁ треугольника P₁P₂P₃ равен углу ее поворота. Поэтому (O₁P₁, P₁P₂) зависит лишь от фигур F₂ и F₃. А так как (O₁W, WJ₃) = (O₁P₁, P₁P₂), то дуга O₁J₃ фиксирована (рис.), а значит, точка J₃ фиксирована. Аналогично доказывается, что точки J₁ и J₂ фиксированы.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	8
Название	Окружность подобия трех фигур
Тема	Окружность подобия трех фигур
задача
Номер	19.051