Условие
Пусть l1, l2 и l3 — соответственные прямые подобных
фигур F1, F2 и F3, пересекающиеся в точке W.
а) Докажите, что точка W лежит на окружности подобия
фигур F1, F2 и F3.
б) Пусть J1, J2 и J3 — точки пересечения прямых l1,
l2 и l3 с окружностью подобия, отличные от точки W. Докажите,
что эти точки зависят только от фигур F1, F2 и F3 и не
зависят от выбора прямых l1, l2 и l3.
Решение
а) Пусть l1', l2' и l3' — соответственные прямые
фигур F1, F2 и F3, причем
li'| li; эти прямые
образуют треугольник P1P2P3. При поворотной гомотетии с центром O3, переводящей F1 в F2, прямые l1 и l1'
переходят в l2 и l2', поэтому при гомотетии
с центром O3, переводящей прямую l1 в l1', прямая l2
переходит в l2'. Следовательно, прямая P3O3 проходит через
точку W. Аналогично прямые P1O1 и P2O2 проходят через
точку W, а значит, точка W лежит на окружности подобия
фигур F1, F2 и F3 (см. задачу 19.49, б)).
б) Отношение расстояний от точки O1 до прямых l2' и l3'
равно коэффициенту поворотной гомотетии, переводящей F2
в F3, а угол P1 треугольника P1P2P3 равен углу ее
поворота. Поэтому
(O1P1, P1P2) зависит лишь от фигур F2
и F3. А так как
(O1W, WJ3) = (O1P1, P1P2),
то дуга O1J3 фиксирована (рис.),
а значит, точка J3 фиксирована. Аналогично доказывается, что
точки J1 и J2 фиксированы.
Источники и прецеденты использования
