ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58031
Тема:    [ Окружность подобия трех фигур ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямые A2B2 и A3B3, A3B3 и A1B1, A1B1 и A2B2 пересекаются в точках P1, P2, P3 соответственно.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников A1A2P3, A1A3P2 и A2A3P1 пересекаются в одной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A1B1, A2B2 и A3B3.
б) Пусть O1 — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок A2B2 в отрезок A3B3; точки O2 и O3 определяются аналогично. Докажите, что прямые P1O1, P2O2 и P3O3 пересекаются в одной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A1B1, A2B2 и A3B3.

Решение

Точки A1, A2 и A3 лежат на прямых P2P3, P3P1 и P1P2 (рис.), поэтому описанные окружности треугольников A1A2P3, A1A3P2 и A2A3P1 имеют общую точку V (см. задачу 2.80, а)), причем точки O3, O2 и O1 лежат на этих окружностях (см. задачу 19.41). Аналогично описанные окружности треугольников B1B2P3, B1B3P2 и B2B3P1 имеют общую точку V'. Пусть U — точка пересечения прямых P2O2 и P3O3. Докажем, что точка V лежит на описанной окружности треугольника O2O3U. В самом деле, $ \angle$(O2V, VO3) = $ \angle$(VO2, O2P2) + $ \angle$(O2P2, P3O3) + $ \angle$(P3O3, O3V) = $ \angle$(VA1, A1P2) + $ \angle$(O2U, UO3) + $ \angle$(P3A1, A1V) = $ \angle$(O2U, UO3). Аналогичные рассуждения показывают, что точка V' лежит на описанной окружности треугольника O2O3U. В частности, точки O2, O3, V и V' лежат на одной окружности. Аналогично точки O1, O2, V и V' лежат на одной окружности, а значит, точки V и V' лежат на описанной окружности треугольника O1O2O3; точка U тоже лежит на этой окружности. Аналогично доказывается, что прямые P1O1 и P2O2 пересекаются в точке, лежащей на окружности подобия. Прямая P2O2 пересекает окружность подобия в точках U и O2, поэтому прямая P1O1 проходит через точку U.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 19
Название Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер 8
Название Окружность подобия трех фигур
Тема Окружность подобия трех фигур
задача
Номер 19.049

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .