Задача 58037

Тема:    [ Окружность подобия трех фигур ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

Условие

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, K — точка Лемуана, P и Q — точки Брокара,  — угол Брокара. Докажите, что точки P и Q лежат на окружности с диаметром KO, причем OP = OQ и  POQ = 2.

Решение

Если P — первая точка Брокара треугольника ABC, то CP, AP и BP — соответственные прямые для подобных фигур, построенных на отрезках BC, CA и AB. Поэтому точка P лежит на окружности подобия S (см. задачу 19.51, а)). Аналогично точка Q лежит на окружности S. Кроме того, прямые CP, AP и BP пересекают окружность S в постоянных точках A₁, B₁ и C₁ треугольника ABC (см. задачу 19.51, б)). А так как KA₁| BC (см. решение задачи 19.54), то (PA₁, A₁K) = (PC, CB) = , т. е. PK = 2. Аналогично KQ = 2. Поэтому PQ KO, а значит, OP = OQ и  (POQ) = ( PQ)/2 = 2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	8
Название	Окружность подобия трех фигур
Тема	Окружность подобия трех фигур
задача
Номер	19.055