Условие
На плоскости расположено несколько точек, все
попарные расстояния между которыми различны. Каждую
из этих точек соединяют с ближайшей. Может ли при этом
получиться замкнутая ломаная?
Решение
Предположим, что получилась замкнутая ломаная.
Пусть
AB — наибольшее звено этой ломаной, а
AC и
BD —
соседние с ним звенья. Тогда
AC <
AB, т. е.
B — не ближайшая
к
A точка, и
BD <
AB, т. е.
A — не ближайшая к
B точка.
Поэтому точки
A и
B не могут быть соединены. Получено
противоречие.
Источники и прецеденты использования
