Задача 58054

Тема:    [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На плоскости расположено несколько точек, все попарные расстояния между которыми различны. Каждую из этих точек соединяют с ближайшей. Может ли при этом получиться замкнутая ломаная?

Решение

Предположим, что получилась замкнутая ломаная. Пусть AB — наибольшее звено этой ломаной, а AC и BD — соседние с ним звенья. Тогда AC < AB, т. е. B — не ближайшая к A точка, и BD < AB, т. е. A — не ближайшая к B точка. Поэтому точки A и B не могут быть соединены. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	2
Название	Наименьшее или наибольшее расстояние
Тема	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)
задача
Номер	20.009