Задача 58073

Тема:    [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

На плоскости дано несколько точек, попарные расстояния между которыми не превосходят 1. Докажите, что эти точки можно покрыть правильным треугольником со стороной .

Решение

Рассмотрим три прямые, попарно образующие углы 60^o, и проведем к данному множеству точек три пары опорных прямых, параллельных выбранным прямым. Проведенные опорные прямые задают два правильных треугольника, каждый из которых накрывает данные точки. Докажем, что сторона одного из них не превосходит .
На каждой опорной прямой лежит хотя бы одна из данных точек. Расстояние между любой парой данных точек не превосходит 1, поэтому расстояние между любой парой опорных прямых не превосходит 1.
Возьмем одну из данных точек. Пусть a₁, b₁ и c₁ — расстояния от нее до сторон одного правильного треугольника, a₂, b₂ и c₂ — расстояния до сторон другого. При этом мы предполагаем, что a₁ + a₂, b₁ + b₂ и c₁ + c₂ — расстояния между опорными прямыми. Как только что было доказано, a₁ + a₂1, b₁ + b₂1 и c₁ + c₂1. С другой стороны, a₁ + b₁ + c₁ = h₁ и a₂ + b₂ + c₂ = h₂, где h₁ и h₂ — высоты построенных равносторонних треугольников (задача 4.46). Следовательно, h₁ + h₂3, а значит, одна из высот h₁ и h₂ не превосходит 3/2. Но тогда сторона соответствующего правильного треугольника не превосходит .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	5
Название	Выпуклая оболочка и опорные прямые
Тема	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)
задача
Номер	20.026B