Задача 58083

Темы:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 4- Классы: 7,8

Условие

На шахматной доске 8×8 отмечены центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми, не проходящими через эти центры, разбить доску на части так, чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной точки?

Решение

К краю шахматной доски 8×8 прилегает 28 полей. Проведем 28 отрезков, соединяющих центры соседних крайних полей, а также 13 прямых, не проходящих через эти центры. Каждая прямая может пересекать не более двух таких отрезков, поэтому 13 прямых могут пересекать не более 26 отрезков. Следовательно, найдутся по крайней мере два отрезка, не пересекающихся ни с одной из 13 проведённых прямых. Оба конца такого отрезка лежат в одной части.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	1
Название	Конечное число точек, прямых и т.д.
Тема	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)
задача
Номер	21.004