Задача 58089

Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Условие

Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого n-угольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в вершинах n-угольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?

Решение

Так как диагонали, выходящие из одной вершины, делят n-угольник на n - 2 треугольника, n-2 точки необходимы.
Из рис. можно понять, как обойтись n - 2 точками: достаточно отметить по одной точке в каждом зачерненном треугольнике. В самом деле, внутри треугольника A_pA_qA_r, где p < q < r, всегда содержится зачерненный треугольник, прилегающий к вершине A_q.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	1
Название	Конечное число точек, прямых и т.д.
Тема	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)
задача
Номер	21.010