Задача 58090

Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Условие

Внутри выпуклого 2n-угольника взята точка P. Через каждую вершину и точку P проведена прямая. Докажите, что найдется сторона 2n-угольника, с которой ни одна из проведенных прямых не имеет общих внутренних точек.

Решение

Возможны два случая:
1. Точка P лежит на некоторой диагонали AB. Тогда прямые PA и PB совпадают и не пересекают сторон. Остаются 2n - 2 прямые; они пересекают не более 2n - 2 сторон.
2. Точка P не лежит на диагонали многоугольника A₁A₂...A_2n. Проведем диагональ A₁A_{n + 1}. По обе стороны от нее лежит по n сторон. Пусть для определенности точка P лежит внутри многоугольника A₁...A_{n + 1} (рис.). Тогда прямые PA_{n + 1}, PA_{n + 2},..., PA_2n, PA₁ (число этих прямых равно n + 1) не могут пересекать стороны A_{n + 1}A_{n + 2}, A_{n + 2}A_{n + 3},..., A_2nA₁. Поэтому оставшиеся прямые могут пересекать не более чем n - 1 из этих n сторон.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	1
Название	Конечное число точек, прямых и т.д.
Тема	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)
задача
Номер	21.011