По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.

   Решение

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Малые шевеления ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Назовем выпуклый семиугольник особым, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.

Решение

Пусть P — точка пересечения диагоналей A₁A₄ и A₂A₅ выпуклого семиугольника A₁...A₇. Одна из диагоналей A₃A₇ и A₃A₆, для определенности диагональ A₃A₆, не проходит через точку P. Точек пересечения диагоналей шестиугольника A₁...A₆ конечное число, поэтому вблизи точки A₇ можно выбрать такую точку A₇', что прямые A₁A₇',..., A₆A₇' не проходят через эти точки, т. е. семиугольник A₁...A₇' неособый.

Источники и прецеденты использования