а)  1 < cos + cos + cos 3/2;
б)  1 < sin(/2) + sin(/2) + sin(/2) 3/2.

   Решение

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q — точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K — точка пересечения прямых BC и PR, L — точка пересечения прямых AB и QR, M — точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Малые шевеления ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Назовем выпуклый семиугольник особым, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.

Решение

Пусть P — точка пересечения диагоналей A₁A₄ и A₂A₅ выпуклого семиугольника A₁...A₇. Одна из диагоналей A₃A₇ и A₃A₆, для определенности диагональ A₃A₆, не проходит через точку P. Точек пересечения диагоналей шестиугольника A₁...A₆ конечное число, поэтому вблизи точки A₇ можно выбрать такую точку A₇', что прямые A₁A₇',..., A₆A₇' не проходят через эти точки, т. е. семиугольник A₁...A₇' неособый.

Источники и прецеденты использования