Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны три прямые a, b, c. Докажите, что композиция симметрий S_coS_boS_a является симметрией относительно некоторой прямой тогда и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Докажите, что сумма

принимает как положительные, так и отрицательные значения.

   Решение

---

а) Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (рис.). Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника.
б) Докажите, что площадь двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

   Решение

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Малые шевеления ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Назовем выпуклый семиугольник особым, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.

Решение

Пусть P — точка пересечения диагоналей A₁A₄ и A₂A₅ выпуклого семиугольника A₁...A₇. Одна из диагоналей A₃A₇ и A₃A₆, для определенности диагональ A₃A₆, не проходит через точку P. Точек пересечения диагоналей шестиугольника A₁...A₆ конечное число, поэтому вблизи точки A₇ можно выбрать такую точку A₇', что прямые A₁A₇',..., A₆A₇' не проходят через эти точки, т. е. семиугольник A₁...A₇' неособый.

Источники и прецеденты использования