Задача 58120

Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Дан выпуклый n-угольник, никакие две стороны которого не параллельны. Докажите, что различных треугольников, о которых идет речь в задаче 22.8, не менее n - 2.

Решение

Доказательство проведем индукцией по n. При n = 3 утверждение очевидно. Согласно задаче 22.8 существуют прямые a, b и c, являющиеся продолжениями сторон данного n-угольника и образующие треугольник T, который содержит данный n-угольник. Пусть прямая l является продолжением какой-либо другой стороны данного n-угольника. Продолжения всех сторон n-угольника, кроме стороны, лежащей на прямой l, образуют выпуклый (n - 1)-угольник, лежащий внутри треугольника T. По предположению индукции для этого (n - 1)-угольника найдется n - 3 нужных треугольника. Кроме того, прямая l и две из прямых a, b и c тоже образуют нужный треугольник.
Замечание. Если точки A₂,..., A_n лежат на окружности с центром A₁, причем A₂A₁A_n < 90^o и n-угольник A₁...A_n выпуклый, то для этого n-угольника существует ровно n - 2 нужных треугольников.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	1
Название	Выпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые многоугольники
задача
Номер	22.009