Информация о задаче

Задача 58132

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 7+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади.

Решение

Рассмотрим кривую, делящую равносторонний треугольник ABC на две фигуры площади S/2. Возможны два случая: либо кривая отделяет одну из вершин треугольника (для определённости вершину A) от противоположной стороны, либо кривая замкнута. Во втором случае согласно задаче 22.BIs14 длина кривой не превосходит $\sqrt{2\pi S}$ . Рассмотрим теперь первый случай. Образы кривой при последовательных симметриях относительно прямых AC, AB₁, AC₂, AB₂ и AC₁ (рис.) образуют замкнутую кривую, ограничивающую фигуру площади 3S. Поэтому искомая кривая — дуга окружности радиуса $\sqrt{3S/\pi}$ с центром в точке A. Её длина равна $\sqrt{\pi S/3}$ < $\sqrt{2\pi S}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	2
Название	Изопериметрическое неравенство
Тема	Теорема Хелли
задача
Номер	22.BIs16