Информация о задаче

Задача 58129

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 7+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна S, а её периметр равен P, то S $\le$ P²/4 $\pi$ , причём равенство достигается только в случае круга (изопериметрическое неравенство).

Решение

Для любой невыпуклой фигуры существует выпуклая фигура того же периметра и большей площади (задачи 22.BIs9 и 22.BIs10). Поэтому можно ограничиться выпуклыми фигурами.
Пусть $\Phi$ — выпуклая фигура, отличная от круга, K — круг. Нужно доказать, что для K отношение площади к квадрату периметра больше, чем для $\Phi$ . Площадь и периметр $\Phi$ и K можно определить как предел площадей и периметров описанных вокруг $\Phi$ и K многоугольников, все внешние углы которых стремятся к нулю. Пусть некоторый многоугольник описан вокруг K. Рассмотрим другой многоугольник, соответственные стороны которого параллельны сторонам первого, а описан он вокруг $\Phi$ . Для первого многоугольника отношение площади к квадрату периметра больше, чем для второго (задача 22.BIs13). Переходя к пределу, получаем, что отношение площади к квадрату периметра для K не меньше, чем для $\Phi$ .
Если фигура $\Phi$ периметра 1 отлична от круга, то её площадь не может равняться площади круга периметра 1, поскольку тогда существовала бы фигура $\Phi{^\prime}$ периметра 1, площадь которой была бы больше площади $\Phi$ (задача 22.BIs12), т.е. больше площади круга периметра 1.
Замечание. Другое доказательство требуемого утверждения приведено в решении задачи 22.12B6 б).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	2
Название	Изопериметрическое неравенство
Тема	Теорема Хелли
задача
Номер	22.BIs14