Условие
Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же
периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна S, а её периметр равен
P, то
S
P2/4
, причём равенство достигается только в случае круга
(изопериметрическое неравенство).
Решение
Для любой невыпуклой фигуры существует выпуклая фигура того же периметра и
большей площади (задачи 22.BIs9 и 22.BIs10). Поэтому можно
ограничиться выпуклыми фигурами.
Пусть
— выпуклая фигура, отличная от круга, K — круг. Нужно
доказать, что для K отношение площади к квадрату периметра больше, чем для
. Площадь и периметр
и K можно определить как предел площадей и
периметров описанных вокруг
и K многоугольников, все внешние углы
которых стремятся к нулю. Пусть некоторый многоугольник описан вокруг K.
Рассмотрим другой многоугольник, соответственные стороны которого параллельны
сторонам первого, а описан он вокруг
. Для первого многоугольника
отношение площади к квадрату периметра больше, чем для второго
(задача 22.BIs13). Переходя к пределу, получаем, что отношение площади к
квадрату периметра для K не меньше, чем для
.
Если фигура
периметра 1 отлична от круга, то её площадь не может
равняться площади круга периметра 1, поскольку тогда существовала бы фигура
периметра 1, площадь которой была бы больше площади
(задача 22.BIs12), т.е. больше площади круга периметра 1.
Замечание.
Другое доказательство требуемого утверждения приведено в решении
задачи 22.12B6 б).
Источники и прецеденты использования
|
книга |
Автор |
Прасолов В.В. |
Год издания |
2001 |
Название |
Задачи по планиметрии |
Издательство |
МЦНМО |
Издание |
4* |
глава |
Номер |
22 |
Название |
Выпуклые и невыпуклые многоугольники |
Тема |
Выпуклые и невыпуклые фигуры |
параграф |
Номер |
2 |
Название |
Изопериметрическое неравенство |
Тема |
Теорема Хелли |
задача |
Номер |
22.BIs14 |