Информация о задаче

Задача 58139

Темы:	[	Сумма Минковского	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

а) Пусть M — выпуклый многоугольник, площадь которого равна S, а периметр равен P; D — круг радиуса R. Докажите, что площадь фигуры $\lambda_{1}^{}$ M + $\lambda_{2}^{}$ D равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$ S + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ PR + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$ $\displaystyle \pi$ R².

б) Докажите, что S $\le$ P²/4 $\pi$ .

Решение

а) Фигура $\lambda_{1}^{}$ M + $\lambda_{2}^{}$ D состоит из точек, удалённых не более чем на $\lambda_{2}^{}$ R от многоугольника, гомотетичного M с коэффициентом $\lambda_{1}^{}$ . Площадь такой фигуры равна $\lambda_{1}^{2}$ S + $\lambda_{1}^{}$ $\lambda_{2}^{}$ PR + $\lambda_{2}^{2}$ $\pi$ R². (см. решение задачи 9.42).
б) Согласно неравенству Брунна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$ S + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ PR + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$ $\displaystyle \pi$ R² $\displaystyle \ge$ ( $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \sqrt{S}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ $\displaystyle \sqrt{\pi R^2}$ )²,

т.е. PR $\ge$ 2 $\sqrt{S\pi R^2}$ . Поэтому S $\le$ P²/4 $\pi$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	4
Название	Сумма Минковского
Тема	Сумма Минковского
задача
Номер	22.012B6