|
|
 |
Условие
Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не
изменяется, а его периметр не увеличивается.
Решение
Проведём через каждую вершину многоугольника M прямую, перпендикулярную
прямой l. Эти прямые разрезают многоугольник на трапеции (некоторые из
трапеций могут вырождаться в треугольники). При симметризации по Штейнеру
каждая такая трапеция заменяется на равнобочную трапецию с теми же основаниями
и той же высотой. Ясно, что при такой замене площадь трапеции не изменяется.
Остаётся проверить, что периметр не увеличивается. При этом достаточно
рассмотреть случай, когда трапеция вырождается в треугольник. Действительно,
если ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, где ABCD, то от неё
можно отрезать параллелограмм ABCD'.
Итак, пусть ABC — треугольник, у которого сторона AB фиксирована, а
вершина C движется по прямой m, параллельной AB. Пусть точка B'
симметрична точке B относительно прямой m. Тогда
AC + CB = AC + CB'AB'.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда AC = CB.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 22 |
| Название | Выпуклые и невыпуклые многоугольники |
| Тема | Выпуклые и невыпуклые фигуры |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Симметризация по Штейнеру |
| Тема | Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) |
| задача | |
| Номер | 22.012B1 |
