Задача 58140

Темы:    [ Сумма Минковского ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Условие

Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков.

Решение

Если I₁, ..., I_n — отрезки, расположенные на плоскости, а O₁, ..., O_n — их середины, то многоугольник I₁ + ... + I_n симметричен относительно точки O₁ + ... + O_n.
Рассмотрим теперь выпуклый многоугольник A₁...A_2n с центром симметрии O. Перенесём отрезки A₁A₂, A₂A₃, ..., A_nA_{n + 1} параллельно так, чтобы их середины попали в точку O. Увеличим эти отрезки в n раз, оставив их середины неподвижными. Пусть I₁, ..., I_n — полученные отрезки. Тогда сумма I₁ + ... + I_n — исходный многоугольник.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	4
Название	Сумма Минковского
Тема	Сумма Минковского
задача
Номер	22.012B7