Задача 58149

Тема:    [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Докажите, что сумма внешних углов любого многоугольника, прилегающих к меньшим 180^o внутренним углам, не меньше 360^o.

Решение

Так как у выпуклого n-угольника все внутренние углы меньше 180^o и их сумма равна (n - 2) ^. 180^o, то сумма внешних углов равна 360^o, т. е. в случае выпуклого многоугольника достигается равенство.
Пусть теперь M — выпуклая оболочка многоугольника N. Каждый угол M содержит меньший 180^o угол N, причем угол M может быть только больше угла N, т. е. внешний угол N не меньше внешнего угла M (рис.). Поэтому, даже ограничившись только углами N, примыкающими к углам M, мы уже получим не меньше 360^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	6
Название	Невыпуклые многоугольники
Тема	Невыпуклые многоугольники
задача
Номер	22.019