Задача 58153

Тема:    [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Условие

Докажите, что сумма внутренних углов любого n-угольника равна (n - 2) 180^o.

Решение

Докажем это утверждение по индукции. При n = 3 оно очевидно. Предположим, что оно доказано для всех k-угольников, где k < n, и докажем его для любого n-угольника. Любой n-угольник можно разрезать диагональю на два многоугольника (см. задачу 22.20, а)). Если число сторон одного из них равно k + 1, то число сторон второго равно n - k + 1, причем оба числа меньше n. Поэтому суммы углов этих многоугольников равны (k - 1) ^. 180^o и  (n - k - 1) ^. 180^o соответственно. Ясно также, что сумма углов n-угольника равна сумме углов этих многоугольников, т. е. она равна (k - 1 + n - k - 1) ^. 180^o = (n - 2) ^. 180^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	6
Название	Невыпуклые многоугольники
Тема	Невыпуклые многоугольники
задача
Номер	22.023