Условие
Дан выпуклый 2n-угольник A1...A2n. Внутри него взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей.
Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A1,..., A2n.
Решение
Диагонали разбивают многоугольник на несколько частей. Будем называть соседними те из них, у которых есть общая сторона. Ясно, что из любой внутренней точки многоугольника можно попасть в любую другую, переходя каждый раз только в соседнюю часть. Часть плоскости, лежащую вне многоугольника, также можно считать одной из этих частей. Число рассматриваемых треугольников для точек этой части равно нулю, поэтому достаточно доказать, что при переходе в соседнюю часть чётность числа треугольников сохраняется.
Пусть общая сторона двух соседних частей лежит на диагонали (или
стороне) PQ. Тогда всем рассматриваемым треугольникам, кроме
треугольников со стороной PQ, обе эти части одновременно либо
принадлежат, либо не принадлежат. Поэтому при переходе из одной части
в другую число треугольников изменяется на k1 – k2, где k1 – число вершин многоугольника, лежащих по одну сторону от PQ, k2 – число вершин, лежащих по другую сторону от PQ. Так как k1 + k2 = 2m – 2, то число k1 – k2 чётно.
Источники и прецеденты использования
