ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58172
Темы:    [ Инварианты ]
[ Четность и нечетность ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый 2n-угольник A1...A2n. Внутри него взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей.
Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A1,..., A2n.


Решение

  Диагонали разбивают многоугольник на несколько частей. Будем называть соседними те из них, у которых есть общая сторона. Ясно, что из любой внутренней точки многоугольника можно попасть в любую другую, переходя каждый раз только в соседнюю часть. Часть плоскости, лежащую вне многоугольника, также можно считать одной из этих частей. Число рассматриваемых треугольников для точек этой части равно нулю, поэтому достаточно доказать, что при переходе в соседнюю часть чётность числа треугольников сохраняется.
  Пусть общая сторона двух соседних частей лежит на диагонали (или стороне) PQ. Тогда всем рассматриваемым треугольникам, кроме треугольников со стороной PQ, обе эти части одновременно либо принадлежат, либо не принадлежат. Поэтому при переходе из одной части в другую число треугольников изменяется на  k1k2,  где k1 – число вершин многоугольника, лежащих по одну сторону от PQ, k2 – число вершин, лежащих по другую сторону от PQ. Так как  k1 + k2 = 2m – 2,  то число  k1k2  чётно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 23
Название Делимость, инварианты, раскраски
Тема Неопределено
параграф
Номер 3
Название Инварианты
Тема Инварианты
задача
Номер 23.013
книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 1
Название Четность
Тема Четность и нечетность
задача
Номер 04.013

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .