Задача 58186

Тема:    [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Правильный треугольник разбит на n² одинаковых правильных треугольников (рис.). Часть из них занумерована числами 1, 2,..., m, причем треугольники с последовательными номерами имеют смежные стороны. Докажите, что mn² - n + 1.

Решение

Раскрасим треугольники, как показано на рис. Тогда черных треугольников будет 1 + 2 +...+ n = n(n + 1)/2, а белых 1 + 2 +...+ (n - 1) = n(n - 1)/2. Ясно, что два треугольника с последовательными номерами разноцветные. Поэтому среди занумерованных треугольников черных может быть только на 1 больше, чем белых. Следовательно, общее число занумерованных треугольников не превосходит n(n - 1) + 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	5
Название	Другие вспомогательные раскраски
Тема	Вспомогательная раскраска (прочее)
задача
Номер	23.026