Условие
Правильный треугольник разбит на
n2 одинаковых правильных
треугольников (рис.). Часть из них занумерована числами
1, 2,...,
m, причем треугольники
с последовательными номерами имеют смежные стороны. Докажите,
что
m
n2 -
n + 1.
Решение
Раскрасим треугольники, как показано на рис. Тогда черных
треугольников будет
1 + 2 +...+
n =
n(
n + 1)/2, а белых
1 + 2 +...+ (
n - 1) =
n(
n - 1)/2. Ясно, что два треугольника с последовательными
номерами разноцветные. Поэтому среди занумерованных
треугольников черных может быть только на 1 больше, чем белых.
Следовательно, общее число занумерованных треугольников не
превосходит
n(
n - 1) + 1.
Источники и прецеденты использования
