Задача 58187

Тема:    [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дно прямоугольной коробки выложено плитками размером 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и потеряли одну плитку 2×2. Вместо нее достали плитку 1×4. Докажите, что выложить дно коробки плитками теперь не удастся.

Решение

Раскрасим дно коробки в два цвета, как показано на рис. Тогда каждая плитка 2×2 покрывает ровно одну черную клетку, а плитка 1×4 покрывает 2 или 0. Поэтому четность числа черных клеток дна коробки совпадает с четностью числа плиток 2×2. Так как при замене плитки 2×2 на плитку 1×4 четность числа плиток 2×2 изменится, выложить дно коробки плитками не удастся.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	5
Название	Другие вспомогательные раскраски
Тема	Вспомогательная раскраска (прочее)
задача
Номер	23.027