Условие
Выпуклый n-угольник разбит на треугольники
непересекающимися диагоналями, причем в каждой его вершине сходится
нечетное число треугольников. Докажите, что n делится на 3.
Решение
Если многоугольник разбит на части несколькими диагоналями, то эти
части можно окрасить в два цвета так, чтобы части, имеющие общую
сторону, были разного цвета. Это можно сделать следующим образом. Будем
последовательно проводить диагонали. Каждая диагональ разбивает
многоугольник на две части. В одной из них сохраняем раскраску, а другую перекрашиваем, заменяя везде белый цвет на черный, а черный —
на белый. Проделав эту операцию для всех нужных диагоналей, получим
требуемую раскраску. Так как в нашем случае в каждой вершине сходится
нечетное число треугольников, то при такой раскраске все стороны
многоугольника будут принадлежать треугольникам одного цвета,
например черного (рис.). Обозначим число сторон белых треугольников
через m. Ясно, что m делится на 3. Так как каждая сторона белого
треугольника является также и стороной черного треугольника, а все стороны
многоугольника являются сторонами черных треугольников, то число
сторон черных треугольников равно n + m. Поэтому n + m делится
на 3, а поскольку m делится на 3, то и n делится на 3.
Источники и прецеденты использования
