Условие
Из 16 плиток размером 1×3 и одной плитки 1×1
сложили квадрат со стороной 7. Докажите, что плитка 1×1
лежит в центре квадрата или примыкает к его границе.
Решение
Разобьем полученный квадрат на клетки размером 1×1 и раскрасим
их в три цвета, как показано на рис. Легко проверить, что плитки
1×3 можно разбить на два типа: плитка 1-го типа накрывает одну
клетку 1-го цвета и две клетки 2-го цвета, а плитка 2-го типа
накрывает одну клетку 2-го цвета и две клетки 3-го цвета.
Предположим, что все клетки 1-го цвета накрыты плитками 1×3.
Тогда плиток 1-го типа 9, а плиток 2-го типа 7. Следовательно,
они накрывают
9 . 2 + 7 = 25 клеток 2-го цвета и
7 . 2 = 14
клеток 3-го цвета. Получено противоречие, поэтому одна из клеток 1-го
цвета накрыта плиткой 1×1.
Источники и прецеденты использования
