Задача 58201

Темы:    [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Индукция в геометрии ] [ Раскраски ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Условие

Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.

Решение

Доказательство проведем индукцией по числу кругов n. При n = 1 утверждение очевидно. Пусть M — любая точка, O — наиболее удаленный от нее центр круга. Тогда круг с центром O касается не более трех других данных кругов. Выбросим его и раскрасим остальные круги согласно предположению индукции. Этот круг можно окрасить цветом, отличным от цветов касающихся его кругов.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	6
Название	Задачи о раскрасках
Тема	Вспомогательная раскраска (прочее)
задача
Номер	23.041