Задача 58202

Тема:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Условие

Существует ли правильный треугольник с вершинами в узлах целочисленной решетки?

Решение

Предположим, что вершины правильного треугольника ABC расположены в узлах целочисленной решетки. Тогда тангенсы всех углов, образованных сторонами AB и AC с линиями решетки, рациональны. При любом положении треугольника ABC сумма или разность некоторых двух таких углов  и  равна 60^o. Следовательно, = tg60^o = tg(±) = (tg±tg)/(1tgtg) — рациональное число. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	24
Название	Целочисленные решетки
Тема	Целочисленные решетки
параграф
Номер	1
Название	Многоугольники с вершинами в узлах решетки
Тема	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки
задача
Номер	24.001