Условие
Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки,
причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма
длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника,
равна сумме длин вертикальных отрезков.
Решение
Докажем, что каждая из этих сумм равна площади многоугольника. Горизонтальные
линии решётки разрезают многоугольник на два треугольника с основаниями
a1 и
an и
n - 1 трапеций с основаниями
a1 и
a2,
a2 и
a3, ...,
an - 1 и
an. Высоты этих треугольников и трапеций равны 1, поэтому сумма
их площадей равна
+
+
+ ... +
+
=
a1 +
a2 + ... +
an.
Для вертикальных линий доказательство аналогично.
Источники и прецеденты использования
