Информация о задаче

Задача 58207

Тема:

[

Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки, причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника, равна сумме длин вертикальных отрезков.

Решение

Докажем, что каждая из этих сумм равна площади многоугольника. Горизонтальные линии решётки разрезают многоугольник на два треугольника с основаниями a₁ и a_n и n - 1 трапеций с основаниями a₁ и a₂, a₂ и a₃, ..., a_{n - 1} и a_n. Высоты этих треугольников и трапеций равны 1, поэтому сумма их площадей равна

$\displaystyle {\frac{a_1}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1+a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_2+a_3}{2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_{n-1}+a_n}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_n}{2}}$ = a₁ + a₂ + ... + a_n.

Для вертикальных линий доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	24
Название	Целочисленные решетки
Тема	Целочисленные решетки
параграф
Номер	1
Название	Многоугольники с вершинами в узлах решетки
Тема	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки
задача
Номер	24.004B1