Условие
Докажите, что количество частей, на которые
данные прямые разбивают плоскость, равно
1 + n + 
(
(P) - 1),
причем среди этих частей 2n неограниченных.
Решение
Доказательство проведем индукцией по n. Для двух прямых
утверждение очевидно. Предположим, что утверждение верно для
n - 1 прямых, и рассмотрим систему, состоящую из n прямых.
Пусть f — количество частей, на которые данные n прямых
разбивают плоскость;
g = 1 + n + ((P) - 1). Выбросим из данной
системы одну прямую и для полученной системы прямых определим
аналогичным образом числа f' и g'. Если на выброшенной прямой
лежит k точек пересечения прямых, то f' = f - k - 1 и
g' = 1 + (n - 1) + (
(P) - 1). Легко проверить, что
((P) - 1) = - k + ((P) - 1). По предположению индукции f' = g'. Поэтому
f = f' + k + 1 = g' + k + 1 = g. Ясно также, что количество неограниченных
частей равно 2n.
Источники и прецеденты использования
