Информация о задаче

Задача 58256

Тема:

[

Разные задачи на разрезания

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что семиугольник нельзя разрезать на выпуклые шестиугольники.

Решение

Предположим, что семиугольник разрезан на f выпуклых шестиугольников. С одной стороны, сумма углов этих шестиугольников равна 4 $\pi$ f. С другой стороны, она равна (7 - 2) $\pi$ + (m - 7) $\pi$ + 2n $\pi$ , где m — количество вершин шестиугольников, лежащих на сторонах семиугольника, n — количество вершин шестиугольников, лежащих внутри семиугольника. Таким образом,

4f = m - 2 + 2n.1)

Пусть k — количество сторон шестиугольников, лежащих внутри семиугольника, m₁ — количество тех из m вершин, из которых выходят ровно две стороны, m₂ = m - m₁. Тогда 6f = m + 2k и 2k $\ge$ 3n + m₂, поэтому

6f $\displaystyle \ge$ 3n + m₂ + m.2)

Из (1) и (2) следует, что m - 2m₂ $\ge$ 6, т.е. m₁ - m₂ $\ge$ 6.
Ясно, что m₂ $\ge$ 2, поскольку по крайней мере из двух точек на сторонах семиугольника выходят отрезки, идущие внутрь. Следовательно, m₁ $\ge$ 8. Приходим к противоречию, поскольку ровно две стороны могут выходить только из вершин семиугольника.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи на разрезания
Тема	Разные задачи на разрезания
задача
Номер	25.035B