Задача 58258

Тема:    [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что выпуклый 22-угольник нельзя разрезать диагоналями на 7 пятиугольников.

Решение

Докажем по индукции, что (3k + 1)-угольник нельзя разрезать по диагоналям на k пятиугольников. Для k = 1 это утверждение очевидно. Предположим теперь, что оно доказано для всех (3k + 1)-угольников, и докажем его для (3k + 4)-угольника. Предположим, что (3k + 4)-угольник разрезан по диагоналям на k + 1 пятиугольник. Если каждый из них имеет не более трех сторон на границе, то число сторон многоугольника не более 3k + 3. Поэтому существует пятиугольник с четырьмя сторонами на границе. Отрезав его, получим (3k + 1)-угольник, разрезанный диагоналями на k пятиугольников. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи на разрезания
Тема	Разные задачи на разрезания
задача
Номер	25.037