Условие
Докажите, что выпуклый 22-угольник нельзя разрезать диагоналями на 7 пятиугольников.
Решение
Докажем по индукции, что (3
k + 1)-угольник нельзя разрезать по
диагоналям на
k пятиугольников. Для
k = 1 это утверждение
очевидно. Предположим теперь, что оно доказано для всех
(3
k + 1)-угольников, и докажем его для (3
k + 4)-угольника.
Предположим, что (3
k + 4)-угольник разрезан по диагоналям на
k + 1 пятиугольник. Если каждый из них имеет не более трех
сторон на границе, то число сторон многоугольника не более
3
k + 3. Поэтому существует пятиугольник с четырьмя сторонами на
границе. Отрезав его, получим (3
k + 1)-угольник, разрезанный
диагоналями на
k пятиугольников. Получено противоречие.
Источники и прецеденты использования
