Задача 58259

Тема:    [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Можно ли разрезать правильный треугольник на 1000000 выпуклых многоугольников так, чтобы любая прямая имела общие точки не более чем с 40 из них?

Решение

Если провести разрезы, близкие к вершинам выпуклого n-угольника, то можно отсечь от него n треугольников и получить выпуклый 2n-угольник. Легко проверить, что при этом любая прямая пересекает не более двух отсеченных треугольников.
Отсечем от правильного треугольника 3 треугольника, затем от полученного шестиугольника — 6 треугольников и так далее, до тех пор, пока не получим 3 ^. 2¹⁹-угольник. Любая прямая может пересечь не более двух треугольников, отсекаемых на каждом шаге. Поэтому всего прямая может пересечь не более 1 + 2 ^. 19 = 39 многоугольников. Общее число многоугольников, на которые разбит правильный треугольник, равно 1 + 3 + 3 ^. 2 + ... + 3 ^. 2¹⁸ = 1 + 3(2¹⁹ - 1) > 2²⁰ = (2¹⁰)² > 1000². Ясно, что можно отсекать не все треугольники, чтобы получить ровно 1000000 многоугольников.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи на разрезания
Тема	Разные задачи на разрезания
задача
Номер	25.038