Задача 58260

Тема:    [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Квадратный лист бумаги разрезают прямой на две части. Одну из полученных частей разрезают на две части, и так делают несколько раз. Какое наименьшее число разрезаний нужно сделать, чтобы среди полученных частей оказалось 100 двадцатиугольников?

Решение

Ясно, что после n разрезаний получится n + 1 кусок. Так как после каждого разрезания общее число вершин полученных фигур увеличивается на 2, 3 или 4, то после n разрезаний общее число вершин не превосходит 4n + 4. Если после n разрезаний получилось 100 20-угольников, то кроме 20-угольников есть еще n + 1 - 100 кусков, так как общее число кусков равно n + 1. Поскольку у каждого куска не менее трех вершин, общее число вершин не меньше 100 ^. 20 + (n - 99) ^. 3 = 1703 + 3n. Следовательно, 1703 + 3n4n + 4, т. е. n1699.
Остается доказать, что за 1699 разрезаний можно разрезать квадрат требуемым образом. Чтобы разрезать квадрат на 100 прямоугольников, достаточно 99 разрезов, а чтобы отрезать от каждого из этих прямоугольников по 16 треугольников и превратить их в 20-угольники, достаточно 16000 разрезов.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи на разрезания
Тема	Разные задачи на разрезания
задача
Номер	25.039