Задача 58261

Тема:    [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

а) Докажите, что из пяти попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
б) Докажите, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.

Решение

а) Предположим, что из нескольких попарно различных по величине квадратов сложен прямоугольник. Рассмотрим самый маленький квадрат Q. С одной из его сторон имеет общую часть сторона некоторого большего квадрата A. Сторона квадрата A выходит за пределы стороны квадрата Q. Образовавшийся угол должен быть заполнен некоторым квадратом B, сторона которого снова больше стороны квадрата Q. Получаем ещё один угол, который должен быть заполнен квадратом C, а затем ещё один угол, который должен быть заполнен квадратом D. При этом между квадратами A и D не может быть к колодцак (т.е. квадраты A и D должны иметь общую границу), поскольку иначе для заполнения к колодцак потребовался бы квадрат, который меньше самого маленького квадрата Q.
Итак, если из пяти попарно различных по величине квадратов можно сложить прямоугольник, то мы знаем, как они должны быть сложены: самый маленький квадрат находится в центре, а к нему примыкают четыре других квадрата, образуя следующую конфигурацию (или симметричную ей):

Пусть q, a, b, c, d — длины сторон квадратов. Тогда a = b + q, b = c + q, c = d + q, d = a + q. Сложив эти равенства, получим 5q = 0. Этого не может быть.
б) Продолжим решение задачи а), пользуясь тем, что там уже доказано. Мы уже знаем, как должны быть расположены самый маленький квадрат и прилегающие к нему квадраты. Поэтому если из шести попарно различных квадратов можно сложить прямоугольник, то они должны быть расположены так:

Но тогда у квадратов D и E есть общая стороны, поэтому они равны. А по условию все квадраты попарно различны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи на разрезания
Тема	Разные задачи на разрезания
задача
Номер	25.039B