Условие
Прямоугольник разрезан на прямоугольники, длина одной из сторон
каждого из которых — целое число. Докажите, что длина одной из
сторон исходного прямоугольника — целое число.
Решение
Введем систему координат с началом в одной из вершин исходного
прямоугольника и осями, направленными по его сторонам. Разрежем
координатную плоскость прямыми x = n/2 и y = m/2, где m и n — целые числа, и раскрасим полученные части в шахматном
порядке. Если стороны прямоугольника параллельны осям координат,
а длина одной из его сторон равна 1, то суммы площадей его белых
и черных частей равны. В самом деле, при симметрии относительно
средней линии прямоугольника белые части переходят в черные и
наоборот. Для прямоугольника с целочисленной стороной
справедливо аналогичное утверждение, потому что его можно
разрезать на прямоугольники со стороной 1. Остается доказать,
что если суммы площадей белых и черных частей равны, то одна из
сторон прямоугольника целочисленная. Предположим, что обе
стороны исходного прямоугольника не целые. Прямые x = m и y = n
отрезают от него прямоугольники, одна из сторон каждого из
которых равна 1, и прямоугольник, обе стороны которого меньше 1.
Легко проверить, что в последнем прямоугольнике суммы площадей
белых и черных частей не могут быть равны.
Источники и прецеденты использования
