Информация о задаче

Задача 58272

Тема:

[

Покрытия

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Длина проекции фигуры $\Phi$ на любую прямую не превосходит 1. Верно ли, что $\Phi$ можно накрыть кругом диаметра: а) 1; б) 1,5?

Решение

а) Не верно. Пусть $\Phi$ — правильный треугольник со стороной 1. Легко проверить, что длина проекции $\Phi$ на любую прямую не больше 1. С другой стороны, так как треугольник $\Phi$ остроугольный, его нельзя накрыть кругом, радиус которого меньше радиуса описанной окружности (см. задачу 9.92). Диаметр описанной окружности треугольника $\Phi$ равен 2/ $\sqrt{3}$ > 1.
б) Верно. Если проекции фигуры $\Phi$ на две взаимно перпендикулярные прямые равны a и b, то ее можно заключить в прямоугольник со сторонами a и b. Диаметр описанной окружности этого прямоугольника равен $\sqrt{a^2+b^2}$ . Но $\sqrt{a^2+b^2}$ $\le$ $\sqrt{1+1}$ = $\sqrt{2}$ < 1, 5.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	8
Название	Покрытия
Тема	Покрытия
задача
Номер	25.050