Задача 58284

Тема:    [ Системы точек ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

а) Архитектор хочет расположить четыре высотных здания так, что, гуляя по городу, можно увидеть их шпили в произвольном порядке (т. е. для любого набора номеров зданий i, j, k, l можно стоя в некоторой точке и поворачиваясь в направлении к пок или к противк часовой стрелки, увидеть сначала шпиль здания i, затем j, k, l). Удастся ли ему это сделать?
б) Тот же вопрос для пяти зданий.

Решение

а) Легко проверить, что, построив четвертое здание внутри треугольника, образованного тремя другими зданиями, получим требуемое расположение.
б) Расположить требуемым образом пять зданий нельзя. В самом деле. если мы видим последовательно здания A₁, A₂,..., A_n, то A₁A₂...A_n — несамопересекающаяся ломаная. Поэтому если ABCD — выпуклый четырехугольник, то его вершины нельзя увидеть в следующем порядке: A, C, D, B. Остается заметить, что из пяти точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, всегда можно выбрать четыре точки, являющиеся вершинами выпуклого четырехугольника (задача 22.2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	26
Название	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков
параграф
Номер	1
Название	Системы точек
Тема	Системы точек
задача
Номер	26.001