Условие
На плоскости дано 22 точки, причем никакие три
из них не лежат на одной прямой. Докажите, что их можно
разбить на пары так, чтобы отрезки, заданные парами,
пересекались по крайней мере в пяти точках.
Решение
Разобьем данные точки произвольным образом на шесть
групп: четыре группы по четыре точки, группа из пяти точек
и группа из одной точки. Рассмотрим группу из пяти точек. Из
них можно выбрать четыре точки, являющиеся вершинами некоторого
выпуклого четырехугольника
ABCD (см. задачу
22.2). Объединим
в пары точки
A,
C и
B,
D. Тогда отрезки
AC и
BD, заданные
парами, пересекаются. Одна из пяти точек осталась свободной.
Присоединим ее к четверке точек и с полученной пятеркой точек
проделаем то же самое и т. д. После пяти таких операций останутся
две точки, и мы объединим их в пару.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
26 |
|
Название |
Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры |
|
Тема |
Системы точек и отрезков |
|
параграф |
|
Номер |
1 |
|
Название |
Системы точек |
|
Тема |
Системы точек |
|
задача |
|
Номер |
26.006 |
