Задача 58300

Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна?

Решение

Да, существуют. Пусть C — середина отрезка AB. Тогда XC² = (2XA² + 2XB² - AB²)/2. Если число AB² иррационально, то числа XA, XB и XC не могут одновременно быть рациональными.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	26
Название	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков
параграф
Номер	3
Название	Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
задача
Номер	26.017