Задача 58301

Тема:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Может ли площадь треугольника, образованного точками пересечения этих отрезков, быть больше 0, 499S_ABC?

Решение

Может. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC₁ с катетами AB = 1 и BC₁ = 2n. Проведем в нем медиану AM₁, биссектрису BK₁ и высоту C₁H₁. Площадь треугольника, образованного этими отрезками, больше S_ABM1 - S_ABK1. Ясно, что S_ABK1 < 1/2 и  S_ABM1 = n/2, т. е. S_ABM1 - S_ABK1 > (S/2) - (S/2n), где S = S_ABC1. Поэтому при достаточно большом n площадь треугольника, образованного отрезками AM₁, BK₁ и C₁H₁, будет больше 0, 499S.
Точку C₁ можно слегка сдвинуть так, чтобы прямоугольный треугольник ABC₁ превратился в остроугольный треугольник ABC, а площадь треугольника, образованного точками пересечения отрезков, осталась больше 0, 499 площади треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	26
Название	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков
параграф
Номер	3
Название	Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
задача
Номер	26.018